viernes, 12 de noviembre de 2010

Sup. geodésicas, deltaedros, deltoedros, dipirámides y antiprismas

 

Geodésicas

Las esferas geodésicas son superficies poliédricas adecuadas a esferas. Se pueden construir partiendo de un poliedro regular en el que se triangulan sus caras. Cada nueva triangulación del nuevo vértice que obtenemos, debe estar inscrito en la esfera, generando la superficie más homogénea posible, aunque esto a veces no sea posible teniendo que producir superficies cuyos triángulos no siempre son todos equiláteros.









En la figura observamos cómo se puede transformar un poliedro arquimediano (icosaedro truncado) en una esfera geodésica, esto es, en una estructura construida con caras triangulares casi equiláteras, de manera que todos los vértices de los triángulos de la esfera equidistan del centro de la misma. Sobre cada una de las caras de la figura se construye una pirámide cuya base es la misma cara. Para saber cuál es su altura debemos pasar por el punto medio de la cara una recta que pase también por el centro de la esfera que inscribe el poliedro. Esta recta cortará a la esfera en la que está inscrito el poliedro en un punto y este es el vértice superior de la pirámide. A continuación unimos este vértice con cada uno de los vértices de la base que son los vértices del polígono regular (caras del poliedro arquimediano). De esta forma tenemos que todos los puntos de la esfera geodésica equidistan del centro y todas sus caras son triángulos casi equiláteros.




Geodésica hexaédrica de frecuencia 2
Partimos de un cubo y marcamos los vértices que aparecen en el hemisferio de la parte derecha en círculos naranjas. Luego proyectamos las aristas del cubo sobre la esfera y dividimos cada una en dos partes, eso significa que cada cuadrado tendrá su diagonal dividida en otras partes, de esta forma la cara proyectada se transforma en una pirámide de 4 lados en color amarillo y es la que corresponde a la proyección del centro de la cara y luego una consecución de triángulos alternos entre el color azul, magenta y verde.



Hemisferio g. icosaédrico de frecuencia 4
En este caso  dividimos la arista en cuatro partes y proyectamos esa división sobre la esfera, de esta manera salen los 16 triángulos esféricos sobre lo que correspondería a cada cara del icosaedro.

Geodésica hemisférica icosaédrica de frecuencia 4






Geodésica octaédrica de frecuencia 6



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Esferas geodésicas:

Esfera geodésica hexaédrica de frecuencia 1

Esfera geodésica hexaédrica de frecuencia 2

Esfera geodésica octaédrica de frecuencia 2

Esfera geodésica octaédrica de frecuencia 3

Esfera geodésica octaédrica de frecuencia 3 con proyecciones diédricas iguales

Esfera geodésica octaédrica de frecuencia 4.

Esfera geodésica dodecaédrica de frecuencia 1

Esfera geodésica dodecaédrica de frecuencia 2

Esfera geodésica icosaédrica de frecuencia 2

Esfera geodésica icosaédrica de frecuencia 3

Esfera geodésica icosaédrica de frecuencia 4
Geodésica dodecaédrica de frecuencia 2




Geodésica icosaédrica de frecuencia 2 o de icosidodecaedro




Geodésica icosaédrica de frecuencia 6






Geodésica octaédrica de frecuencia 2








Geodésica octaédrica de frecuencia 3







Geodésica dodecaédrica de frecuencia 1








Geodésica octaédrica de frecuencia 3








Geodésica octaédrica de frecuencia 6








Geodésica icosaédrica de frecuencia 2


Geodésica icosaédrica de frecuencia 2



Geodésica icosaédrica de frecuencia 2 con su disposición respecto al icosaedro



Geodésica icosaédrica de frecuencia 3 



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Geodésica  dodecaédrica de frecuencia 2



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Geodésicas a partir del cubo








Geodésica hexaédrica de frecuencia 3 



Geodésica hexaédrica de frecuencia 1







Geodésica icosaédrica de frecuencia 2 








Geodésica octaédrica de frecuencia 4











Geodésica cuboctaédrica de frecuencia 3 


























Geodésicas en sistema diédrico
Geodésica dodecaédrica de frecuencia 1 




Geodésica dodecaédrica de frecuencia 2 







Geodésica icosaédrica de frecuencia 2 





Geodésica icosaédrica de frecuencia 3 








Semiesfera Geodésica icosaédrica de frecuencia 2 






Semiesfera Geodésica hexaédrica de frecuencia 2 






Geodésica octaédrica de frecuencia 3 





lunes, 8 de noviembre de 2021




En la figura 1 podemos ver dos pirámides unidas por la base, es lo que se llama una dipirámide, como las dos pirámides tienen base cuadrada, podemos girar por ejemplo la verde de manera que el centro de giro está en la base de la figura y sobre el eje e que pasa por los vértices, al hacer un giro a 45° obtenemos la configuración del número 2.

 Si ahora desplazamos por ejemplo la pirámide verde en la trayectoria del eje vertical hasta que coincidan sus aristas laterales con los puntos medios de la base de la pirámide roja  obtenemos la figura que aparece en el número 3.

 Inmediatamente debajo tenemos la figura central pero habiendo quitado la pequeña pirámide verde superior y la pequeña pirámide roja inferior.

 En el número 4 quitamos las pirámides laterales de la configuración anterior y podemos observar las dos pirámides pequeñas encima y debajo,  la figura del medio es la intersección de esos dos fragmentos que quedaban debajo del número 3.

Si cogemos esa figura de intersección y le unimos las dos pirámides pequeñas de color roja y verde obtenemos en su unión la figura número cinco que es en realidad un deltoedro y cuyas proyecciones en planta y alzado aparecen en el número 6.


Podemos observar en la imagen de la izquierda las tres proyecciones en planta, alzado y perfil de un deltoedro, podemos observar que es una figura formada por deltoides, son trapecios con un eje de simetría parecidos a los rombos pero con la diferencia de que se han alargado dos  lados de la figura.

En este caso tenemos que la figura tiene 8 lados, en la derecha podemos observar los cuatro deltoides para la parte superior y los otros 4 para la parte inferior, esos cuatro lados de la parte superior o inferior definen que el deltoedro sea cuadrado, por lo tanto el número de caras debe ser doble que  el que refiere su designación.

En la parte central de la figura observamos el desarrollo del mismo.




Podemos observar en la Figura 1  un deltoedro de 5 caras laterales para la parte superior y otras cinco para la inferior, tenemos por tanto una figura pentagonal. 

 Si de la figura 2 tomamos las dos pirámides inferior y superior de manera que las bases  son pentágonos regulares podemos decir que un deltoedro pentagonal está formado por un dodecaedro regular y dos pirámides simétricas respecto al plano meridiano que pasa por el centro de la figura.

 En la figura 3 podemos observar el dodecaedro sin las pirámides.


En la figura 1 observamos una pirámide,  si hacemos su simétrica respecto a la base obtenemos la dipirámide de la figura 5,  al hacer un giro a 60º respecto al eje vertical que pasa por los vértices extremos de ambas pirámides obtenemos la configuración de la figura 2,  si bajamos la pirámide roja sobre ese eje hasta que la arista lateral intercepte a la arista de la base verde obtenemos la configuración número 3,  si quitamos las pirámides inferior y superior obtenemos  las pirámides CD del número 4.

Si además de quitar esas pirámides quitamos también las laterales de ambas figuras, o lo que es lo mismo, si hacemos la intersección de las dos pirámides de la configuración 3 obtenemos la dipirámide u octaedro irregular del número 6, por regla general sale irregular ya que la pirámide  tiene una altura cualquiera.

Si a ese octaedro  irregular o o dipirámide le añadimos las dos pirámides del número 4 obtenemos el deltoedro de la figura número 7, es realmente un prisma oblicuo, y un prisma oblicuo es el caso límite de los deltoides del deltoedro que se transforman en rombos.  Como podemos observar aparte de prisma oblicuo y deltoedro es también un octaedro o dipirámide oblicua a la que se le han añadido las dos pirámides del número 4.

Una vez que tomamos esta figura la representamos con sus partes constituyentes en distintos colores en el número 8 mientras que en el número 9 vemos ya las vistas en diédrico de la misma figura con las divisiones pero con los colores originales, por último al hacer la unión de la dipirámide  del número 6 y las pirámides del número 4  obtenemos el prisma oblicuo de la Figura 7, 8, 9, 10.

 En la Figura 11 hemos puesto el octaedro irregular apoyado en una cara, como podemos observar no es regular ya que en el perfil los vértices extremos no cortan a la arista central ortogonalmente.




En el borde superior izquierdo podemos observar un cubo cuya diagonal es el eje principal que atraviesa la figura entre vértices opuestos, alrededor de ese eje giramos un cubo de manera que dejamos registro de 5 cubos en el primer caso y de 4 cubos en el segundo, en el primer caso por ser impar observamos que los vértices de los cubos de la parte superior no coinciden sobre las verticales de los vértices de los cubos de la parte inferior, ello provoca la alternancia de aristas y que las caras laterales sean deltoides, provocando así la figura del deltoedro, como contrapartida observamos en el caso de la derecha el registro tras el giro del cubo la formación de 4 cubos y la coincidencia de los vértices superiores e inferiores provocando la coincidencia de las caras laterales en triángulos isósceles, generando de esta forma una figura formada por dos pirámides llamada dipirámide.



En este ejercicio podemos ver el caso de los 5 cubos que aparecen en el ejercicio anterior. Por la parte superior aparece en la zona izquierda la representación en sistema diédrico de la composición de los 5 cubos mientras que a su derecha aparece la intersección en deltoedro de las cinco figuras.

En  la franja inferior del dibujo vemos exactamente  lo mismo, el poliedro compuesto a la izquierda y la intersección a su derecha,  la diferencia es que en este borde inferior la diagonal del cubo forma 45° con el plano horizontal, mientras que en el caso anterior el eje de revolución es una recta oblicua.


Podemos observar nuevamente el mismo ejercicio que en el caso anterior con la intersección de los 5 cubos, a su izquierda el poliedro resultante de la intersección y a la derecha la composición de los 5 cubos en un poliedro compuesto de figuras entrelazadas.

En el borde inferior de la imagen observamos en detalle el entrelazamiento de esos 5 cubos en su franja central, tal y como se comentaba anteriormente los vértices superiores no están alineados en verticales con los vértices inferiores provocando de esta manera una figura formada por deltoides laterales, esta figura es la que llamamos deltoedro.




Podemos observar un ejercicio afín al anterior pero ahora realizado con 7 cubos, al hacer el giro de un cubo original y tras realizar una vuelta completa observamos que se deja registro de 7 cubos y el poliedro compuesto que se forma es el que aparece en la parte izquierda de la figura, mientras que a la derecha obtenemos la intersección de esos cubos, al ser un caso impar y no haber coincidencia de vértices sobre líneas verticales sabemos que la figura resultante es un  deltoedro.

Análogamente a los ejercicios anteriores, tenemos el cubo con su diagonal principal en el borde superior izquierdo, esta recta es un eje de revolución del que se dejan 7 cubos como registro en el primer caso y 2 cubos en el segundo, como podemos observar en el caso izquierdo obtenemos la figura del deltoedro mientras que a la derecha obtenemos la figura de la bipirámide, en este último caso se ha representado en el borde superior derecho la posición del eje de revolución como una línea que forma 45° con el plano horizontal mientras que en la parte inferior el eje de revolución es una recta vertical.

En el caso superior derecho de la intersección de los dos cubos observamos también la figura con el eje vertical, mientras que a su izquierda observamos el contorno en planta y alzado como un cuadrado, eso quiere decir que el eje de revolución forma en este caso los 45° con el plano horizontal.

Seguimos con el mismo procedimiento de atravesar un eje de revolución sobre figuras distintas, en este caso tenemos un cilindro elíptico que gira en torno al eje provocando el poliedro compuesto por 3 cilindros, en el borde extremo de la izquierda de la imagen observamos que el eje de revolución es una recta vertical provocando en planta una figura con tres simetrías. Como podemos observar a la derecha de ese poliedro compuesto en planta y alzado obtenemos un deltoedro como intersección de los tres cilindros.

En este caso podemos ver que los deltoides laterales del deltoedro se aproximan a rombos en el momento en que los lados de la figura coinciden en dimensión.



Volvemos a realizar un ejercicio semejante al anterior pero considerando ahora el registro de 7 cilindros y con la posición idéntica para el caso del eje de revolución respecto al cilindro elíptico. 

En la parte izquierda observamos en planta y alzado en entrelazamiento de los 7 cilindros que provocan un poliedro compuesto muy complejo.

A la derecha de este poliedro compuesto observamos el deltoedro como intersección de los cilindros, esta figura representada en diédrico aparece luego dos veces representada en distintas perspectivas por la parte inferior mientras que tenemos también dos perspectivas de la composición de los cilindros por la parte inferior derecha.



Siguiendo con el procedimiento anterior partimos de un prisma en forma de cuña y tomamos como eje de revolución una línea que une un vértice extremo con el medio de una arista opuesta, al hacer el giro del prisma y dejar registro de 3 figuras observamos a su derecha la planta y alzado del poliedro compuesto mientras que más a su derecha observamos una figura parecida a un deltoedro pero con caras en trapezoides, como podemos observar la asimetría en las figuras provoca como intersección un poliedro cuyas caras son cuadriláteros irregulares.



Observamos un ejercicio análogo al anterior pero con 5 prismas.

En la intersección de los prismas con forma de cuña observamos una figura análoga al deltaedro pero también con trapezoides en vez de deltoides.

 Podemos observar la planta y alzado de los 5 prismas y a su derecha la intersección también en sistema diédrico, así mismo podemos ver varias perspectivas del poliedro compuesto y del poliedro de intersección.






Hasta ahora hemos partido de prismas y otras figuras para mediante giro y registro de los poliedros obtener deltoedros, en este caso cogemos directamente el deltaedro  de la parte derecha y sobre un eje vertical hacemos un giro del mismo hasta obtener 5 figuras, obteniendo el poliedro compuesto de la izquierda, la intersección de todos los deltoedros nos da un nuevo octaedro que vemos  en el centro en planta y alzado.





En la franja inferior podemos observar un cubo y las distintas posiciones de un eje que lo atraviesa y que es la recta que sirve para revolucionar los cubos un ángulo de 360 grados, dejando a continuación el registro de 4 figuras.

En el primer caso el eje incide en un vértice y a la mitad de la arista, en el segundo caso es la diagonal principal, en el tercer caso el eje de revolución pasa por la mitad de aristas opuestas, en el siguiente caso va desde un vértice hasta una arista opuesta, en el siguiente caso va desde un vértice hasta el centro de una cara, en el siguiente caso el eje de revolución va desde el centro de una arista al centro de una cara y por último va desde el vértice al centro de una cara.

 Al girar el cubo en torno a estos ejes y generar 4 cubos se producen los poliedros compuestos que vemos por la franja central de la imagen, mientras que en la franja superior podemos observar la intersección de esos cubos.

En el primer caso a la izquierda observamos una figura formada por triángulos escalenos y deltoides, en el segundo caso por ser un número par de cubos obtenemos la dipirámide, en el tercer caso tenemos una figura formada por dos pirámides y un prisma de unión, en el siguiente caso tenemos un modelo semejante al del primer caso mientras que en el siguiente   cada uno de los deltoides se fragmentan en dos triángulos, pasa lo mismo en los tres últimos casos de la derecha.

 En conclusión podemos decir que el caso del deltoedro será en el segundo caso para figuras impares mientras que en los demás casos aparecen poliedros parecidos al deltoedro pero fragmentando los deltoides en 2 triángulos por regla general  y salvo excepciones.






En este caso podemos observar en el borde superior izquierdo un prisma recto de base hexagonal regular y un eje que lo atraviesa entre aristas opuestas, al hacer un giro del prisma respecto a ese eje y con una revolución de 360° dejamos el registro de los tres prismas que aparecen en la franja central de la imagen, a su derecha observamos la intersección de esos prismas que provoca una especie de prisma oblicuo con caras en  rombos,  recibe el nombre de romboedro.  Si estos rombos difieren en las dimensiones transformándose en deltoides tenemos en deltoedro, en este caso tenemos un prisma oblicuo cuyas caras son rombos y que pueden ser romboides o deltoides provocando romboedros o deltoedros.

Podemos observar el caso afín al anterior pero realizado con 5 prismas hexagonales, al hacer el giro de los poliedros dejamos registro de las cinco figuras cuya composición aparece en la franja central de la imagen, mientras que a su derecha tenemos la intersección de los 5 prismas que es el deltaedro.

Por la parte inferior podemos observar varias perspectivas de las figuras.


 En esta imagen tenemos un caso afín a los anteriores pero con un prisma de base pentagonal regular, el giro y registro de los tres prismas provoca en planta y alzado el poliedro compuesto que aparece centrado en la imagen mientras que a la derecha podemos observar el prisma oblicuo cuyas caras parecen rombos. En el caso anterior estos  rombos son la posición límite  de las caras laterales  de un deltoedro que son deltoides

 

En este caso tenemos la figura anterior también con el eje de revolución que la atraviesa de vértice a arista opuesta, en el caso número uno tenemos la planta y alzado de 5 prismas resultado de la revolución del prisma anterior, en el número dos tenemos la intersección de los prismas que nos provoca un deltoedro.

Estas figuras están en una posición oblicua, pero para hacer el dibujo más inteligible en el número 3 colocamos el eje de revolución en una posición vertical y de esta manera tenemos el poliedro compuesto en planta y alzado mientras que en el punto cuatro tenemos la intersección de esos prismas pentagonales, en el número 5 tenemos una proyección ortogonal del poliedro compuesto mientras que en el número 7 distintas perspectivas axonométricas, en el número 6 tenemos dos perspectivas axonométricas del deltoedro.

En la figura observamos nuevamente el prisma de base pentagonal regular y el eje de revolución que genera en el giro tres prismas representados en planta y alzado en el centro de la figura, a su derecha observamos otra vez el prisma oblicuo, sus caras tienen tan poca inclinación que casi parece un cubo.

 Un cubo es un hexaedro regular próximo al deltoedro en el momento en que sus caras cuadradas se convierten en deltoides, en este caso las caras son romboides.

Vemos nuevamente el caso del prisma pentagonal regular y el eje de giro que deja registro de 7 prismas, en el número uno tenemos el poliedro compuesto de los 7 prismas mientras que en el número dos tenemos la intersección de los 7 prismas, es un deltoedro en la que podemos observar que sus caras laterales en deltoides.

 En el número tres y cuatro tenemos distintas perspectivas axonométricas del deltoedro mientras que en el 5 y 6 tenemos los poliedros compuestos de 7 prismas.




Tenemos el prisma hexagonal regular y el eje que lo atraviesa de forma oblicua generando una composición de 3 prismas mostrados en planta y alzado en el centro de la imagen, a la derecha observamos el prisma oblicuo con sus caras que son rombos, este poliedro se llama romboedro debido a sus caras rómbicas,  tenemos un caso particular en el cubo en el momento en que los rombos se transforman en cuadrados y tenemos otro caso particular en el deltaedro cuando los rombos se transforman en deltoides, como sabemos el deltoide es  un trapecio con un eje de simetría.

 En el número 3 y 4 vemos la perspectiva del prisma oblicuo mientras que en el 5 y 6 observamos los poliedros compuestos de 3 prismas.

Podemos observar nuevamente en el borde superior izquierdo el prisma  recto de base hexagonal regular  y un eje de giro que provoca una composición de 5 prismas representados en planta y alzado en la figura 1, tenemos a su derecha en la figura 2 la intersección de los 5 prismas, es un deltoedro cuyas perspectivas aparecen en el número 5 y 6, tenemos también las perspectivas del poliedro compuesto en el número 3 y 4

  Tenemos en el borde inferior derecho un tetraedro regular en color magenta atravesado por un eje vertical. al hacer un giro completo de esta figura en torno al eje y dejar registro de 3 figuras obtenemos en planta y alzado el poliedro compuesto que aparece en el número uno, tenemos como intersección en el número 2 un deltoedro, esa misma figura la copiamos en el número 3 y la giramos 90 grados respecto al plano horizontal, en el número 4 hacemos la composición del número 2 y el número 3 obteniendo un poliedro compuesto de dos deltoedros, por último en el número cinco calculamos la intersección de esos dos deltoedros.

En el extremo inferior de la imagen podemos ver las perspectivas de las cinco figuras antes realizadas.


Volvemos a coger el tetraedro regular que aparece en el borde superior izquierdo y hacemos el giro en torno al eje vertical provocando 7 tetraedros regulares, de esta manera obtenemos en planta y alzado el poliedro compuesto por esas figuras y cuya intersección es el deltoedro que aparece a la derecha en planta y alzado.

 En la parte inferior de la imagen observamos a la izquierda el poliedro compuesto de 7 tetraedros y en la parte derecha el poliedro objeto de la intersección de los anteriores, deltoedro cuyas caras son deltoides.

 Tenemos nuevamente un tetraedro regular y el eje vertical que lo atraviesa centralmente, al hacer un giro del tetraedro y dejar registro de 3 figuras obtenemos el deltoedro que sale en el centro de la figura en planta y alzado, a la derecha de la imagen tenemos tanto la composición de tetraedros como el deltoedro objeto de la intersección, en este caso se muestran las figuras en modo alámbrico para que se vea con más exactitud la coincidencia de las aristas en las mismas.

Tenemos nuevamente la misma figura anterior pero hemos incorporado un perfil al poliedro compuesto y al deltoedro para una mejor comprensión de las figuras, asimismo también incorporamos las perspectivas del poliedro compuesto y del deltoedro.

En esta figura observamos en modo alámbrico por la parte inferior el caso de 5 cubos y un eje que provoca distintos poliedros compuestos  al hacer el giro del primer cubo en torno al eje en distintas posiciones.

Observamos en el caso número 2 que se forma un deltoedro .

Tenemos  en todos los demás casos y por regla general figuras parecidas a los deltoedros pero a veces los deltoides se fragmentan en dos triángulos o bien las figuras están compuestas por formas en deltoides conjugadas con formas en triángulos escalenos.

 En el caso curioso del tercer poliedro la figura que se forma está generada por dos cucuruchos con deltoides enlazados por hexágonos regulares en su franja central.


En todos estos casos el cubo es atravesado por la diagonal principal que es considerada como eje de revolución, podemos comprobar en los casos pares que se provoca una dipirámide mientras que en los casos impares aparecen los deltoedros.

Tenemos también que en el caso 2 y 6 son coincidentes porque son múltiplos y por tanto coinciden los cubos en dos únicas figuras mientras que en el número 3 el cubo al girarlo y registrarlo tres veces provoca 3 cubos que son coincidentes consigo mismo por eso la intersección de los tres cubos es el cubo mismo de ahí que no aparezca en la figura, es un caso impar y se aproxima al deltoedro pero sus caras en vez de ser deltoides tenemos el caso límite de los deltoides que se transforman en cuadrados.


Mismo ejercicio que en el caso anterior pero en este caso el eje que en el ejercicio anterior estaba en una posición vertical ahora pasa a formar 45° con el plano horizontal, de esta manera todas las figuras que se forman están en una posición oblicua respecto a los dos planos de proyección.  Tenemos todos los casos de la imagen anterior, en el primer caso el registro de los 2 y 6 cubos, en el siguiente de 4 cubos, y así hasta llegar a los 9 cubos en el último caso.

 
 El mismo caso que los dos anteriores componiendo tanto la posición del eje vertical como la posición oblicua del eje.




Dipirámides


1-En esta imagen observamos una dipirámide  de seis caras en planta, alzado y perfil, es una figura formada por dos pirámides unidas por la base.  A su derecha observamos el desarrollo de la figura que es el despliegue de sus caras para extenderla sobre un plano y en el centro inferior de la figura observamos en la perspectiva axonométrica de la dipirámide.

2- Podemos observar otra dipirámide a la izquierda en planta alzado y perfil, esta vez la figura tiene dos pirámides de 5 caras triangulares laterales cada una, en total la figura tiene 10 caras.

A la derecha en el borde superior podemos ver la perspectiva de la dipirámide en la parte inferior el desarrollo de la misma.



3- En la figura 1 observamos una pirámide,  si hacemos su simétrica respecto a la base obtenemos la dipirámide de la figura 5,  al hacer un giro a 60º respecto al eje vertical que pasa por los vértices extremos de ambas pirámides obtenemos la configuración de la figura 2,  si bajamos la pirámide roja sobre ese eje hasta que la arista lateral intercepte a la arista de la base verde obtenemos la configuración número 3,  si quitamos las pirámides inferior y superior obtenemos  las pirámides CD del número 4.

Si además de quitar esas pirámides quitamos también las laterales de ambas figuras, o lo que es lo mismo, si hacemos la intersección de las dos pirámides de la configuración 3 obtenemos la dipirámide u octaedro irregular del número 6, por regla general sale irregular ya que la pirámide  tiene una altura cualquiera.

Si a ese octaedr  irregular o o dipirámide le añadimos las dos pirámides del número 4 obtenemos el deltaedro de la figura número 7, es realmente un prisma oblicuo, y un prisma oblicuo es el caso límite de los deltoides del deltoedro que se transforman en rombos.  Como podemos observar aparte de prisma oblicuo y deltoedro es también un octaedro o dipirámide oblicua a la que se le han añadido las dos pirámides del número 4.

Una vez que tomamos esta figura la representamos con sus partes constituyentes en distintos colores en el número 8 mientras que en el número 9 vemos ya las vistas en diédrico de la misma figura con las divisiones pero con los colores originales, por último al hacer la unión de la dipirámide  del número 6 y las pirámides del número 4  obtenemos el prisma oblicuo de la Figura 7, 8, 9, 10.

 En la Figura 11 hemos puesto el octaedro irregular apoyado en una cara, como podemos observar no es regular ya que en el perfil los vértices extremos no cortan a la arista central ortogonalmente.


 Dibujo de la  dipirámide construida con dos tetraedros regulares unidos por la base





4- Si tomamos un cubo y cogemos su diagonal principal tal y como aparece en el borde superior izquierdo esa línea que llamamos eje, al hacer un giro del cubo respecto a ese eje diagonal dejamos registro de 4 cubos en su movimiento, de esta manera obtenemos la figura que sale a su derecha en planta y alzado, el eje está en posición vertical y provoca la composición de los cuatro cubos de color cuya proyección en planta tiene esa forma estrellada.  En el alzado podemos observar el entrelazamiento de los cuatro cubos de manera que los vértices extremos están alineados en verticales, eso quiere decir que la intersección de los distintos cubos genera la figura que está a su derecha que es una dipirámide.

Más a la derecha hemos colocado la misma figura y hemos hecho una copia de la dipirámide y la hemos girado 90 grados superponiendo ambas, la composición de ambas figuras genera un poliedro compuesto con el contorno de estrella de cuatro puntas que aparece en el alzado mientras que a su derecha observamos la intersección de ambos ambas dipiramides. 


5- En el borde superior izquierdo observamos la planta, alzado y perfil de dos cubos que se cortan de manera que tienen coincidente la diagonal principal, en el borde superior derecho vemos la intersección de ambos cubos, realmente son las proyecciones de una pirámide de 12 caras.  Esta figura está apoyada en una de sus caras triangulares.

En el centro de la figura en color azul y verde observamos esa misma dipirámide de manera que el eje longitudinal es una recta vertical mientras que a su derecha en rojo y azul observamos nuevas proyecciones de la figura y en el borde inferior izquierdo observamos distintas perspectivas del poliedro compuesto formado por los dos cubos entrelazados.


6-Observamos nuevamente un eje de giro que deja registro de cuatro cubos provocando un poliedro compuesto cuyas proyecciones en planta, alzado y perfil aparecen en el borde superior izquierdo.  Inmediatamente debajo en color rojo aparece el cubo de manera que el eje vertical provoca las proyecciones de ese cubo rojo.

 En el centro superior de la figura observamos la posición del cubo en planta, y alzado en amarillo y azul con las proyecciones del eje de giro, según esta colocación del cubo la figura que sale al aplicar la transformación es el conjunto de cubos que aparecen a su izquierda-

 En la parte inferior central de la figura aparecen los 4 cubos de manera que el eje está vertical como en la posición de su izquierda del cubo rojo, la intersección de estos cubos nos genera la dipirámide del borde inferior derecho, representada en planta, alzado y perfil.

En la parte superior derecha de la figura podemos observar con más detalle el alzado del conjunto de cubos con la intersección de las distintas caras.


7- Al igual que en el caso anterior podemos observar la misma posición del eje de revolución respecto a los cubos, por regla general podemos decir que cada vez que dejamos registro de  los movimientos  del cubo, si  el número de registros es par sale una dipirámide mientras que si es impar sale un deltaedro.  Ello es debido a que, tal y como vemos en el borde inferior derecho, los vértices extremos del caso par son coincidentes sobre imaginarias líneas verticales, cuando esos vértices no coinciden la figura que se forma es el deltoedro, como pasa en el caso impar de siete cubos.


8- Volvemos a ver un caso similar al anterior pero con 5 y 4 cubos, en el caso impar de la izquierda la intersección de los 5 cubos entrelazados provoca un deltoedro mientras que en el caso par de 4 cubos de la derecha observamos como resultado una dipirámide

9- En el borde superior derecho observamos un prisma en color magenta, al igual que en las figuras anteriores del cubo cogemos el eje principal que es aquella diagonal que pasa por vértices opuestos de la figura, al hacer el giro del prisma respecto a ese eje y dejar registro de 6 prismas, observamos el poliedro compuesto que se genera en la figura formada por múltiples prismas magentas y el original en color verde.  Podemos observar la intersección de esos prismas en la dipirámide de color rojo. Observamos a la derecha en 3 prismas de color azul verde y rojo cuya intersección no provoca una dipirámide sino una figura formada por caras laterales triangulares, lo que era una tónica general para el cubo con la diagonal principal como eje, deja de serlo cuando alargamos el cubo y lo convertimos en un prisma de  distinto tamaño.





10- En la imagen podemos observar en su parte inferior 7 cubos con la posición de distintos ejes de revolución, observamos que el eje sale de un vértice del cubo o bien sale de la mitad de una arista para llegar hasta un vértice, o mitad de arista o centro de la cara opuesta.

Al hacer la misma transformación que en los casos anteriores, esto es, hacer un giro del cubo respecto a ese eje nos queda una composición de cubos que aparecen inmediatamente por encima de las perspectivas de esos cubos, en la parte central de la figura.

 Observamos en la parte superior la intersección de esos tres cubos la obtención de distintas figuras parecidas a dipiramides. En el primer y cuarto caso las figuras están formadas por deltoides y triángulos. En el tercer caso son dos pirámides unidas por un prisma. En el quinto caso es una figura afín a la primera pero dejando los deltoides debajo y los triángulos por encima. Lo mismo en el sexto caso.

Podemos observar que en el segundo caso aparece una bipirámide. En el séptimo caso también aparece una bipirámide ya que el eje de giro coincide con el plano de la diagonal principal y su eje de giro es un segmento de vértice a vértice opuesto.

11- En el borde superior derecho podemos observar un cubo de color rojo que se ha girado en torno a su diagonal principal (de vértice a vértice opuesto), de manera que al hacer una vuelta completa deja registro de otro cubo que aparece en color verde, el cubo está representado por sus tres vistas en sistema diédrico.

A su derecha podemos observar la intersección de ambas figuras que es realmente una dipirámide. El mismo dibujo lo podemos observar a la derecha en modo alámbrico.

 En la parte inferior observamos exactamente la misma figura pero tanto la composición de los cubos como la intersección están en una posición oblicua, mientras que a su derecha observamos varias perspectivas axonométricas de la dipirámide.

12-  Podemos observar en la parte superior de la imagen en planta y alzado dos tetraedros que forman un poliedro compuesto, a su derecha observamos la intersección que es realmente un octaedro regular, esta figura es una dipirámide ya que está formada por dos pirámides de base cuadrada unidas por sus bases.

En la parte inferior a la izquierda observamos otra proyección de los tetraedros con un contorno estrellado en el alzado y a su derecha una perspectiva axonométrica del octaedro regular. 


13-   En el borde superior izquierdo podemos observar los dos tetraedros entrelazados el dibujo anterior y cuya intersección es la dipirámide en octaedro regular que aparece inmediatamente debajo.  A su derecha en el número uno dos y tres observamos en el primero el tetraedro, en el segundo el entrelazamiento de ambos tetraedros y en el tercero la intersección de los dos tetraedros que provoca el octaedro regular.

A la derecha en color verde parece un octaedro regular con un eje vertical de vértice a vértice opuesto.

Al hacer un giro de esta figura en torno al eje y dejar registro de tres octaedros tras una vuelta completa obtenemos en planta, alzado y perfil la las vistas de esa figura, tal y como aparece en el borde inferior izquierdo de la imagen.  Debajo del perfil aparecen los 3 tetraedros en perspectiva conformando un poliedro compuesto.

A la derecha podemos observar la intersección de los tres octaedros, el resultado es una dipirámide formada por dos pirámides de 12 caras triangulares laterales cada una.
14- Ejercicio semejante al anterior pero con 5 octaedros regulares, podemos observar en la parte superior los cinco octaedros entrelazados en planta  y alzado, a la derecha podemos observar la intersección de estas cinco figuras también en planta y alzado.

 En el borde inferior observamos distintas perspectivas del poliedro compuesto y del resultado final la dipirámide de 20 caras laterales, para cada una de las pirámides.

En el borde superior izquierdo de la imagen observamos un cubo con la posición de un eje que va desde la mitad de una arista hasta el centro de la base.




15- En el borde superior derecho observamos un cubo y su eje de revolución. Al hacer un giro de este cubo  de 360° respecto a ese eje,  obtenemos un registro de 2 a 6 cubos según aparece en la imagen central con la composición de los mismos, como podemos observar al girar los cubos quedan registrados varios con ángulos iguales, por ejemplo en el caso de tres cubos uno respecto a otro ha girado 120 grados que es un tercio de los 360 grados o vuelta completa.

 La composición de todos esos cubos que aparecen por el centro son representados ahora en la franja superior, en la intersección que provoca, como podemos observar, en algún caso se da la dipirámide, como por ejemplo en el caso de 6 cubos, en el caso de 4 y 5 cubos la figura está formada por una forma semejante a una pirámide con triángulos simétricos a pares y con un deltoide que conforma la mitad de un deltoedro.

En el caso 1 aparece una dipirámide asimétrica y en el caso 2 aparece una figura parecida a un cubo con apariencia de deltoedro, ya que un cubo es realmente un deltoedro de seis caras.En   las franjas inferiores podemos observar distintas perspectivas de los poliedros compuestos y de sus intersecciones.


16- En el  número tres observamos una pirámide con un eje de revolución que pasa por la mitad de una arista lateral y el vértice opuesto de la base, al hacer un giro de 360 grados de la pirámide en torno a ese eje obtenemos en el número uno la planta y alzado de la composición de las pirámides mientras que en el número 2 observamos el resultado de hacer la intersección de las mismas.  Como podemos observar es una figura parecida a una dipirámide pero el tramo superior es de menor dimensión y los triángulos laterales no son isósceles sino escalenos, lo que provoca en la intersección de las dos figuras un conjunto de líneas en apariencia de zig zag circular.

Observamos que la planta de la figura 2 tampoco tiene todos los puntos equidistantes del centro debido a los triángulos escalenos.

 En el número 4 y 5 observamos la perspectiva de la figura intersección mientras que en el 6 y 7  observamos la perspectiva axonométrica de la composición de las pirámides.

17- Podemos observar nuevamente en el número 3 una pirámide que como en el ejercicio anterior el eje de revolución pasa por el vértice de la base y una arista lateral opuesta.

 Al hacer un giro de la figura y dejar registro de cinco pirámides con ángulos iguales obtenemos en planta y alzado en el número 1 la composición de las pirámides mientras que en el número 2 obtenemos la intersección de las mismas.

En el número 4, 5, 6 y 7 observamos perspectivas del poliedro compuesto mientras que el número 9, 10 y 11 observamos la intersección de las pirámides en un nuevo poliedro compuesto por triángulos escalenos y deltoides, una figura parecida a una dipirámide.


18-  Podemos observar en el borde superior derecho una pirámide atravesada por un eje de revolución paralelo a la base y que pasa por la mitad de las aristas laterales, al hacer el giro de la pirámide y dejar registro en los 360° de cinco pirámides, obtenemos en planta y alzado el poliedro compuesto que aparece en el borde superior izquierdo, inmediatamente a su derecha aparece la intersección de esas pirámides, un poliedro que parece una pirámide según vemos su proyección en planta, pero una observación atenta a la figura nos muestra que las caras triangulares son formas asimétricas, triángulos escalenos que nos dicen que realmente no está formada la figura por dos pirámides, de ahí se desprende que en el alzado el contorno de los puntos o vértices de esos triángulos no sean equidistantes del centro de la figura.

 En la parte inferior y a la derecha de la planta del poliedro intersección podemos ver varias perspectivas de ambas figuras, el poliedro compuesto y la intersección de esas pirámides.


19- Siguiendo el método anterior hemos cogido un prisma de base pentagonal regular y lo hemos atravesado por un eje desde la arista de la base al vértice opuesto de la cara superior. al hacer un giro y registro de 6 prismas - número 1- obtenemos en planta y alzado la figura que sale a su derecha, podemos observar más a su derecha la intersección de los prismas que nos provoca una dipirámide, también en planta y alzado - número 2.

 En el número 3 y 4 observamos distintas perspectivas axonométricas de la dipirámide mientras que en el 5 y 6 observamos el poliedro compuesto formado por los 6 prismas rectos de base pentagonal regular.



20- Podemos observar exactamente el mismo ejercicio en el anterior pero en vez de utilizar 6 prismas hemos utilizado 8 prismas, como podemos observar en el número uno tenemos la planta y alzado de la composición de prismas mientras en el número 2 tenemos la planta y alzado de la dipirámide que es la intersección de esos prismas.

Del número 3 al número 7 podemos observar distintas perspectivas axonométricas del Poliedro compuesto y de su intersección.




21-   En el borde superior izquierdo podemos observar un prisma con un eje de revolución que es su diagonal principal, al hacer un giro del prisma en torno a ese eje y dejar registro de 5 prismas obtenemos la figura del número 5 mientras que la figura del número 6 es un registro de 6 prismas.  Como podemos observar en el número 6 parece una dipirámide aunque los triángulos escalenos laterales nos informan de que realmente es una figura parecida a la del número 5 formada por triángulos escalenos. En la figura 6 las caras laterales son prácticamente triángulos isósceles .

 En la parte inferior del dibujo podemos observar distintas perspectivas de ambos poliedros compuestos y los poliedros que son objeto de la intersección de las anteriores prismas.


22- En la figura número uno observamos tres prismas entrelazados en planta alzado y perfil, son prismas de sección cuadrada que provocan como intersección un poliedro de Catalan dibujado en planta, alzado y perfil en la figura 2, se llama rombododecaedro y está formado por caras que son rombos.

 En el número 11 observamos los tres prismas y su posición en la dirección de los ejes cartesianos, en el número 5 observamos ya los tres prismas entrelazados generando un poliedro compuesto por los tres, en el número seis podemos observar la intersección de los 3 prismas que nos genera el rombododecaedro, también aparece la perspectiva de esta figura en el número 7, 8 y 9, en el número 12 observamos como al coger el rombododecaedro y quitarle pirámides obtenemos la figura número 10 que es una bipirámide u octaedro regular.

 En el número 3 observamos los tres prismas entrelazados de manera que sus ejes coinciden con los de una axonometría isométrica mientras que en el 4 aparece la intersección de los 3 prismas, una proyección del rombododecaedro con apariencia de cubo.


23- Podemos observar las mismas figuras que el ejercicio anterior, el número 2 en color azul la intersección de los 3 prismas mientras que en el número 3, 4 y 5 nos quedamos con la intersección de dos prismas de los tres anteriores, observamos que respectivamente se genera la bipirámide 8, 7 y 6, de forma correspondiente.

Mientras en el número 9 observamos la intersección de dos tres prismas del número 2, como sabemos por el ejercicio anterior es un poliedro de Catalan llamado rombododecaedro.

En el número 11 podemos observar como al rombododecaedro le hemos cortado las pirámides de manera que obtenemos el octaedro regular del número 12, ya con el despiece de las pirámides laterales.

 En el número 10 observamos la perspectiva del rombododecaedro y en el número 1 observamos los tres prismas separados con su disposición conforme a la posición de los ejes cartesianos.

Cambiamos ahora de perspectiva y observamos los mismos prismas en el lado izquierdo y los mismos números que los anteriores pero en color negro, son exactamente las mismas figuras pero bajo otra perspectiva.  Es curioso en el número 9 como la proyección del rombododecaedro es  una figura con apariencia de cubo en axonométrica isométrica.




24- En el borde superior izquierdo podemos ver la planta y alzado de 4 tetraedros que forman entre si iguales ángulos, estas figuras se han obtenido a partir de uno de los tetraedros, por ejemplo el de color rojo, imaginamos que el eje de revolución es una recta vertical que pasa por el punto medio de 2 aristas opuestas. Al hacer un giro de esta figura y rotar los 360° dejamos el registro de 4 figuras incluida la primera obteniendo ese poliedro compuesto cuya planta es un polígono estrellado en su contorno. 

Al hacer la intersección de los 4 tetraedros regulares obtenemos la dipirámide que aparece a su derecha en el centro de la figura. Más a su derecha tenemos el conjunto de los tetraedros superpuestos a la intersección de los mismos, todas las figuras superpuestas están en modo alámbrico para que se vea la coincidencia de los puntos. 

En la parte inferior del dibujo podemos ver varias perspectivas del poliedro compuesto y de su intersección.



25- En el centro superior de la figura podemos observar un cubo en varios colores: amarillo, verde, rojo y azul, esos colores corresponden a las pirámides que se forman al seccionar el cubo de manera que el plano de corte pasa por 3 vértices del mismo, si separamos las cuatro pirámides que produce el corte obtenemos un tetraedro regular por el que trazamos un eje vertical centrado en la figura y que incide en los puntos medios de las aristas.

Al hacer el giro del tetraedro dejamos registro de otro tetraedro siendo el nuevo tetraedro un poliedro simétrico central respecto al centro de la figura.

En el borde superior derecho observamos los dos tetraedros entrelazados y más a su derecha la intersección de ambos tetraedros regulares, que es una dipirámide.

 En el borde izquierdo de la figura podemos observar el tetraedro en color rojo y las pirámides desplegadas del despiece de manera que las cuatro figuras desencajadas del tetraedro formarían con él un cubo, tal y como vimos en la descripción del cubo de colores.

 Por la parte inferior del dibujo observamos tres perspectivas del poliedro compuesto de dos tetraedros y a su derecha dos perspectivas del octaedro regular de la intersección de ambos tetraedros los anteriores, como podemos observar el octaedro regular es una dipirámide.


26- En el extremo derecho de la imagen podemos observar un cubo con su diagonal principal como eje entre vértices opuestos.

 Al hacer un giro del cubo en una circunferencia completa y dejando registro de 2 hasta 9 cubos obtenemos los poliedros compuestos que aparecen en la parte inferior del dibujo. Como podemos observar 2 y 6 cubos provocan la misma figura ya que coinciden los ángulos, en el caso del registro de 3 cubos no aparece ya que los 120 grados que giran coinciden con sus vértices provocando una única figura y cuya intersección entre ellas es el mismo cubo, éste es un caso particular del deltoedro donde los deltoides o caras laterales se convierten en la posición límite de rombos que se transforman en cuadrados.

Observamos que en los números pares 2,4,6 y 8 las figuras que se forman son dipirámides  mientras que en los impares son deltoedros, eso es debido a la coincidencia de los vértices extremos alineados en verticales en el primer caso, mientras que cuando esa coincidencia no existe y los vértices están alternos se provoca la figura del deltoedro.


27- En todas estas figuras podemos observar exactamente la misma representación que en las del ejercicio anterior, con la salvedad de que el eje de revolución aparece oblicuo, ello es debido a que hemos cogido el cubo en la posición inicial apoyado en una cara, de manera que el eje forma 45° respecto al plano horizontal, de esta manera todas las figuras que se van obteniendo están en una posición oblicua y el contorno en la planta y alzado se aproxima a una forma cuadrada debido a la posición del cubo original. Lógicamente están en una posición menos inteligible que en el ejercicio anterior salvo en el caso de la izquierda en la que aparecen dos cubos entrelazados en color rojo y amarillo.



28- En el dibujo vuelve a aparecer otra vez la representación del cubo que se gira en torno a su diagonal principal, por la franja superior tenemos los poliedros compuestos en una posición oblicua y por encima las intersecciones que provocan mientras que en la parte inferior obtenemos lo mismo pero considerando el eje de revolución como una línea vertical.

Hay casos en los que el giro de los cubos coinciden con otros cubos, como en el número 9 de esta manera obtenemos menos cubos que los que se forman en el número 8 o en el número 7, pese a ser más cubos, y por tanto el poliedro resultado de la intersección de los mismos tiene menos caras.


 




29- En la figura 1 podemos ver dos pirámides unidas por la base, una dipirámide, como las dos pirámides tienen base cuadrada, podemos girar por ejemplo la verde de manera que el centro de giro está en la base de la figura y sobre el eje e que pasa por los vértices, al hacer un giro a 45° obtenemos la configuración del número 2.

 Si ahora desplazamos por ejemplo la pirámide verde en la trayectoria del eje vertical hasta que coincidan sus aristas laterales con los puntos medios de la base de la pirámide roja  obtenemos la figura que aparece en el número 3.

 Inmediatamente debajo tenemos la figura central pero habiendo quitado la pequeña pirámide verde superior y la pequeña pirámide roja inferior.

 En el número 4 quitamos las pirámides laterales de la configuración anterior y podemos observar las dos pirámides pequeñas encima y debajo,  la figura del medio es la intersección de esos dos fragmentos que quedaban debajo del número 3.

Si cogemos esa figura de intersección y le unimos las dos pirámides pequeñas de color roja y verde obtenemos en su unión la figura número cinco que es en realidad un deltoedro y cuyas proyecciones en planta y alzado aparecen en el número 6.






Superficies radiadas: conos, cilindros, prismas y pirámides.

Un cono de vértice en el infinito es un cilindro, una pirámide con un vértice en el infinito es un prisma, un prisma de infinitas caras es un cilindro, todos son casos particulares de los cilindros.

El cilindro es una una superficie de revolución y reglada. Las superficies radiadas son regladas (eso quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla) y desarrollables (se pueden extender sobre un plano) además pueden ser cilíndricas o prismáticas si el punto de contacto con la regla está en el infinito.
El cilindro es también una superficie radiada que quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla y un punto del canto de esta regla pasa siempre por un punto fijo de la superficie, esto es, que la regla toca un punto sobre la superficie de forma invariable -e ideal si está en el infinito, como el caso del cilindro o prisma.
El cilindro es un prisma de infinitas caras laterales




Un prisma oblicuo a la izquierda y otro recto a la derecha. El desplazamiento o extrusión de un polígono en una trayectoria recta u oblicua genera un prisma recto u oblicuo, respectivamente. El prisma es otra superficie radiada de tipo cilíndrica porque las líneas que unen sus bases están unidas por líneas paralelas. La superficie radiada cilíndrica es un caso particular de la cónica en la que el vértice por donde pasan los radios está en el infinito. Superficie prismática es la que se genera por una recta que se mueve siempre paralela a otra y en una trayectoria poligonal quebrada que está

















Si cogemos un prisma y una de sus bases la giramos hasta hacer coincidir un vértice en una ortogonal del punto medio con la arista de la otra base, mediante una proyección ortogonal, obtenemos un antiprisma.
El giro debe ser tal que observando las dos caras paralelas del antiprisma en planta, ambas muestran sus vértices siempre a igual distancia unos de otros.
El antiprisma se forma al unir los vértices de dos polígonos regulares cuyo centro de ambas bases incide en un eje ortogonal, mediante rectas en zig-zag que determinan los triángulos iguales laterales de la figura.




Un antiprisma en posición oblicua en el sistema diédrico.
















Antiprisma en sistema diédrico formado por triángulos equiláteros y cuadrados.









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